TP 4-CONDITIONS-CORRIGÉ

Ex1)

Which[IntegerQ[a/3],Print[a," est de la forme 3k"],IntegerQ[(a-1)/3],Print[a," est de la forme 3k+1"],True,Print[a," est de la forme 3k-1"]]

Ex2)

Do[ If[IntegerQ[(n=k(k+1)+1)^(1/3)],Print[k,"×",k+1,"+1=",n^(1/3),"^3"]  ],{k ,0 ,1000}]

Ex3) a) Liste des parfaits < 1000

liste={};Do[If[DivisorSigma[1,u]==2 u,liste=Append[liste,u]],{u,1000}];liste

b) Plus petit abondant impair

u=1;While[DivisorSigma[1,u]<=2 u,u=u+2];u

Anecdote au sujet du plus petit abondant impair : suite à une coquille, il a été écrit dans un livre d'Edouard Lucas au XIXe siècle que le plus petit abondant impair était 10665 = 33. 5 .79  au lieu de 945 = 33. 5 .7. Cette erreur a été recopiée dans de nombreux livres, en particulier dans le très sérieux dictionnaire des mathématiques (PUF) où elle n' a été corrigée que dans l' édition de 2005.

u=1;While[DivisorSigma[1,u]!=2 u,u=u+2];u

Personne n'a jamais trouvé de nombre parfait impair, et on sait que si un nombre parfait impair existe, il a au moins 35 chiffres, mais il n'a pas été prouvé qu'il n' y en avait pas ....

Ex4) Nombres premiers jumeaux.

p=NextPrime[2000];While [p≤2100 ,If [PrimeQ[p+2],Print [p," et ",p+2]];p=NextPrime[p]]

On pense qu'il y a une infinité de couples de nombres premiers jumeaux, mais cela n'a pas été démontré.

Ex5) Les repunits.

Do [Print["Sont premiers en base ",a,":"];
Do [If[ PrimeQ[i],b=(a^i-1)/(a-1);If[PrimeQ[b],Print["M",i,"=",b ]]] ,{i,1,20}],{a,5,10}];

Ex6) (a + b) ² = ab

Do[  If [(a+b)^2==(10^k)a+b ,Print["(",a,"+",b,")²=",(10^k)a+b] ]  ,{k ,2 , 4},{a,10^k-1},{b,10^k-1}]

Nicolas Karecki (PCSI 2005) a remarqué la famille infinie : (99 ... 98 + 00 ... 01) ² = 99 ... 9800 ... 01, et JB Sizes (PCSI 2007) a remarqué les 2 autres familles : (2500 ... 005000 .. 00 + 2500 .. 00) ² = 2500 ... 0050 .. 002500 .. 000 et (2499 .. 995000 .. 00 + 2500 .. 00) ² = 2499 .. 995000 .. 002500 .. 00
(écrire ceci avec des puissances de 10 pour le justifier).

Print[(25005000+25000000)^2,"  ",(24995000+25000000)^2]

Ex7) Fractions égyptiennes

a) Décomposition en  deux fractions

x=17/60;Do[ y=x-1/a;If[y!=0 , b=1/y;If[ IntegerQ[b] , Print[x,"  = ",1/a," + ",1/b] ] ], {a, Ceiling[1/x] , 2/x} ]

b) Nombres de la forme 3/n nécessitant au moins 3 fractions dans la décomposition

liste=Range[4,100];
Do[
x=3/k;Do[y=x-1/a;If[ y==0 , liste=Complement[liste,{k}] ,
 b=1/y;If[ IntegerQ[b], liste=Complement[liste,{k}] ] ],{ a ,Ceiling[1/x] ,2/x}],{k,4,100}]; Function[x,3/x]/@liste

Ces nombres ne possèdent pas de décomposition en somme de fractions égyptiennes ayant strictement moins de 3 termes.
Je constate que ces nombres sont tous de la forme 3/(3p +1)  ; en effet, on peut écrire pour les autres  : 
et même .

c) Nombres de la forme 4/n nécessitant au moins 4 fractions dans la décomposition :

n=100;liste=Range[4,n];
Do[x=4/k;
Do[y=x-1/a;If[ y==0 , liste=Complement[liste,{k}] ,
 Do[z=y-1/b;If[ z==0 ||(z>0 And IntegerQ[1/z]), liste=Complement[liste,{k}] ],{ b,Max[a,Ceiling[1/y]],2/y} ]],{ a ,Ceiling[1/x] ,3/x}],{k,1,n}]; 
Function[x,3/x]/@liste

Apparemment, il n' y en a pas, donc on peut penser que toute fraction de la forme 4/n peut se décomposer en 3 fractions égyptiennes au plus.
On sait que les 4/(4p - 1) se décomposent en deux fractions égyptiennes avec la méthode ci - dessus, mais, bien qu'on n'ait jamais trouvé d'exemple où l'on ne puisse pas décomposer 4/(4p + 1) sous la forme de 3 fractions égyptiennes au plus, on n'a pas à l'heure actuelle démontré que c'était toujours possible!

Ex8) Sommes de 3 carrés

Do[
Do[y=x-a^2;
Do[z=y-b^2;c=Floor[Sqrt[z]];If[ c^2==z, Print[x,"  = ",a,"² + ",b,"² + ",c,"²"] ]
,{ b,a,Sqrt[y/2]}]
,{ a ,0 ,Sqrt[x/3]}]
,{x,95,100}]

On remarque que 95 n'est pas somme de 3 carrés puisqu'il n'apparait pas à l'affichage.
Voici maintenant la liste des entiers de 1 à 100 non somme de 3 carrés :

n=100;A=Range[0,n];y=x-a^2;
Do[
Do[y=x-a^2;
Do[
 z=y-b^2;c=Floor[Sqrt[z]];If[ c^2==z, A=Complement[A,{x}] ]
,{ b,a,Sqrt[y/2]}]
, { a ,0 ,Sqrt[x/3]}]
,{x,0,n}]
A

B=Select[A,OddQ]
CC=Select[A,EvenQ]

Je remarque que B est formé des entiers < 100 de la forme 8 k - 1 et que C est formé des produits de ces derniers par des puissances de 4.
Donc je conjecture :   n ≠(a^2)+(b^2)+(c^2) ssi n est de la forme (4^q) (8 k-1). Ceci a été prouvé.